Varianza

 Secuencia didáctica sobre la enseñanza de la varianza 

¿Cuál familia es más ecológica?

 (Varianza)

Introducción

La siguiente secuencia didáctica está basada en diferentes autores tales como Batanero, Godino, Brousseau, entres otros, los cuales se podrán evidenciar en cada una de las sesiones de la misma. En primera instancia se encuentran los objetivos de la unidad, y la pregunta orientadora, a continuación se dará a conocer un marco teórico desde el área conceptual y didáctica y metodológica además de los referentes políticos en los cuales se basa el tema central de la secuencia. Seguidamente se muestra la actividad a tratar evidenciando cada unos de los pasos que tanto los estudiantes como docentes deben llevar a cabo, enmarcada por la situación fundamental, resaltando que el contexto cotidiano será un factor que facilite su resolución.

Justificación

La estadística descriptiva cada vez toma más fuerza en la sociedad, puesto que sus métodos para la interpretación, análisis y descripción de datos, ayudan a la solución de problemas de la cotidianidad, por ello el siguiente trabajo se basara en una de las medidas de dispersión más usadas, cuando es necesaria y pertinente, la varianza, la cual juega un papel fundamental dentro de las medidas de dispersión.

Además para llevar a cabo un buen proceso de enseñanza – aprendizaje de la varianza se tomara la metodología propuesta por Brousseau (1989), llamada la teoría de las situaciones didácticas, puesto que se cree útil para que los estudiante comprendan un verdadero significado del conocimiento y sean ellos mismos quienes lleven  a su construcción.

Objetivos

General

Establecer una secuencia didáctica por medio de la teoría de situaciones didácticas, que permita la enseñanza de la varianza y su importancia dentro de la estadística descriptiva.

Específicos

·         Interpretar, analizar y describir los datos dados de acuerdo a las medidas de dispersión

·         Calcular e interpretar adecuadamente la varianza.

Pregunta orientadora

¿Cómo diseñar una secuencia didáctica que permita el aprendizaje de la varianza de acuerdo a la teoría de situaciones didácticas propuestas por Brousseau, en grado once?

Marco teórico

La estadística según Moore (1991) “es la ciencia de los datos. Con más precisión, el objeto de la  estadística es el razonamiento a partir de datos empíricos. La estadística es una  disciplina científica autónoma, que tiene sus métodos específicos de razonamiento. Aunque es una ciencia matemática, no es un subcampo de la  Matemática. Aunque es una disciplina metodológica, no es una colección de  métodos.”, Por tanto es catalogada como lenguaje universal, y aunque muchas veces se deje de lado su enseñanza en la escuela, ella es la brinda la posibilidad inmensa de describir situaciones analizarlas, interpretarlas, lograr conclusiones, entre otras. Es por ello que se le dará el valor fundamental que tiene en la sociedad.

La estadística está dividida en dos ramas: la inductiva y la descriptiva, y esta ultima la que se quiere tratará a lo largo de la unidad por ello se dará una definición según Nortes (1991) “tiene como objeto la recogida, recopilación de datos a unas pocas medidas descriptivas, permitiendo conocer las características existentes en un conjunto de datos”, lo anterior se tomara esta rama de la estadística ya que los estándares curriculares de matemáticas en grado once señalan que los estudiantes deben usar compresivamente algunas medidas de centralización y localización.

Según freud (1992) “el empleo de métodos estadísticos, permite obtener la información precisa de los datos, los cuales incluyen: definir cuidadosamente la situación, recolectar datos, resumir con precisión los datos, obtener y comunicar conclusiones importantes”, y es ello precisamente lo que se quiere trabajar con los estudiantes, centrándose en la varianza y las representaciones graficas, ya que estas ayudan a resumir la información y a su interpretación.

Ahora bien dentro de esta secuencia, el tema central como se dijo anteriormente es la varianza por tanto, se dará una definición de misma y su significancia dentro de la estadística descriptiva, según Batanero y Godino (2001), la varianza  “es la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media”. Se representa por S² y se calcula mediante la fórmula:

La varianza no varía cuando efectuamos una traslación, es decir. Si sumamos o restamos la misma cantidad a todos los datos.

Ahora bien dentro del cálculo de la varianza se pueden dar diferentes formas de representación como las que se presentan a continuación (Walpole & Myers, 2005)

A.   Para la población

B.    Para una muestra poblacional

C.    Para el conjunto de datos agrupados y es una población

D.   Para el conjunto de datos agrupados y es una muestra población

De acuerdo a lo anterior es importante aclarar que el valor de la varianza siempre es positivo, puesto que constantemente se le va restar la media aritmética a cada uno de los resultados de la población y luego se elevar la cuadrado cada diferencia del elemento con su media aritmética, en tanto hace que todos los números sean positivos, para evitar que los números negativos reduzcan la varianza.

Según  Batanero (2000), para darle un sentido a la utilización de la varianza es importante realizar una comparación entre dos o más muestras poblacionales, aunque en la mayoría de ocasiones se omiten el cálculo de estas medidas de dispersión, por tanto es fundamental para entender el concepto de variación algunas medidas de dispersión; y es precisamente lo que se pretende en esta secuencia que los estudiantes puedan comparar dos muestras poblacionales y partir de ellas analizar y describir, los datos.

Siguiendo con este orden de ideas Batanero (2011), menciona que la variabilidad es un aspecto muy importante de la estadística ya que esta tiene como fin cuantificar, controlar y predecir la variabilidad, por tanto otro de los fines de esta secuencia didáctica es que los estudiantes perciban  la variabilidad y manejen modelos que permitan controlarla y predecirla.

Dentro de la estadística descriptiva se puede destacar la importancia de  la población de acuerdo a la información obtenida, por ello es necesario partir de ciertas bases para llevar a cabo un adecuado proceso como: una situación bien definida, la recolección de datos, la sistematización de los mismos, representaciones y conclusiones.

Para que los Lograr que los estudiantes adquieran dichos conocimientos estadísticos Azcátare (1996) determina tres aspectos básicos que los profesores y futuros profesores deben  reconocer y reflexionar si desean afrontar ciertas garantías de éxito, la enseñanza del conocimiento estadístico:

·           El propio campo conceptual y sus características

·           Los aspectos del desarrollo cognitivo y del aprendizaje

·           Las peculiaridades de su enseñanza (citado por Rocha, 2007)

Por lo anterior se obtiene la siguiente situación fundamental:

¿Cuál familia es más ecológica?

Teniendo claro la situación fundamental  es el proceso de enseñanza - aprendizaje de la estadística se convierte en un método fundamental que favorece el aprendizaje de los estudiantes, por esto es importante señalar que la teoría de las situaciones didácticas de Brousseau (1996, 1998,2000), brindan un soporte teórico y práctico que facilitan dicho proceso. En tanto una situación didáctica, Brousseau la define como:

Un conjunto de relaciones establecida explícita o implícitamente entre el alumnos o un grupo de alumnos, un medio, (comprendiendo eventualmente instrumento u objetos) y un sistema educativo (el docente) con el fin de que los alumnos se apropien de un saber constituido o en vía de constituirse. (Citado por Doaudy, 1993)

Dentro de las teorías de situaciones didácticas se dividen  cuatro situaciones

Acción: aquí se genera una interrelación entre los alumnos y el medio físico, en este caso el estudiante  debe realizar una interpretación de los datos dados y la forma de dar respuesta a la pregunta. (Situación fundamental).

Rol del estudiante	Rol del profesor
Dará a conocer las variables que intervienen en la situación fundamental, propiciando hipótesis, utilizando algún método de recolección de datos, además se espera que haga un acercamiento grafico al problema que permita un mayor análisis del mismo.	Será el responsable de incitar  a los estudiantes a la formulación de conjeturas, preguntas entre otras que permitan un acercamiento a la solución del problema, además dará la oportunidad al estudiante  juzgar el resultado de su acción

Situación de formulación: cuyo objetivo principal es la comunicación e informaciones entre los alumnos, aquí luego de realizar sus hipótesis los estudiantes deberán comparar las medidas de tendencia central dadas, donde encontraran que la media es igual en ambos casos, es decir realizaran la respectiva comparación.

Rol del estudiante	Rol del profesor
Deberá realizar cálculos estadísticos, y un análisis grafico que lo orienten a la resolución de la pregunta, observando la utilidad de la información suministrada, dando paso a la fomentación de discusiones, con el fin de encontrar una idea defendible por parte de la totalidad del grupo.	Debe propiciar las discusiones de manera grupal frente a las conjeturas y preguntas realizadas, además se encargara de estimular un lenguaje tanto verbal como escrito, por parte de los estudiantes al referirse a la situación fundamental, por ultimo será un ente que permita el intercambio de información. (Rocha, 2007).

Situación de validación: se deben convencer a unos o varios interlocutores de la valides de las afirmaciones que hacen. Los estudiantes al encontrar una media igual, se inclinaran por el uso de la varianza llegando a la solución del problema.

Rol del estudiante	Rol del profesor
En esta situación el estudiante deberá realizar cálculos estadísticos más complejos como la varianza, para poder validar o no su hipótesis planteada.	Será el encargado de poner en duda o no las hipótesis planteadas, realizando una socialización entre todos los compañeros sobre sus hipótesis y argumento, así habrá una retroalimentación y validación o no de las mismas. Nuevamente dará mas formalidad del lenguaje estadístico.

Situación de institucionalización: destinas a establecer las convenciones sociales, así se podrá llegar al aprendizaje de las medidas de dispersión y su función en las situaciones cotidianas, es decir en esta situación encontraran la viabilidad del método usado (varianza) su pertinencia, analizando y describiendo los datos encontrados

Rol del estudiante	Rol del profesor
Dará la formalidad matemática del tema propuesto, además de analizar las diferentes compresiones que los estudiantes adquirieron  sobre la varianza.	Asume la significación establecida sobre la varianza en concordancia con lo trabajado en la situación fundamental.

Ahora bien es importante resaltar la población a la cual se le aplicara la secuencia, que según los estándares curriculares (2006),  los estudiantes es en grado once donde se debe enseñar el uso de las medidas de dispersión por tanto la enseñanza de la varianza ya que un estandar es: “usar comprensivamente algunas medidas de centralización, localización, dispersión y correlación (percentiles, cuartiles, centralidad, distancia, rango, varianza, covarianza y normalidad”. Por lo anterior se considera que es pertinente y de gran utilidad para los estudiantes analizar y describir minuciosamente las situaciones que se le presentan en su diario vivir.

ROLES

Del estudiante

El estudiante deberá participar activamente en cada una de las sesiones para no perder la conexión existente entre cada el tema estadístico a tratar (varianza), además tendrá que utilizar conceptos previamente aprendidos, como la media aritmética, si quiere llegar a la resolución de la situación fundamental, lo cual permitirá generar el conocimiento por sí solo.

Finalmente el estudiante colaborara con la organización adecuada y rápida del aula de clases, con el fin de no distraer a sus compañeros y aprender a trabajar de forma amable y productiva.

Del profesor

El docente participará como orientador y organizador de la teoría de situaciones didácticas de Brousseau, además será el encargado de construir diferentes preguntas que permitan a los estudiantes sacar conclusiones que los lleve por si solos a la solución de la situación.

Ahora bien deberá realizar un seguimiento riguroso de los procesos de los estudiantes con el fin de identificar necesidades y poner a los estudiantes a u mismo “nivel”. Del mismo modo se encargará de dar un trato equitativo y respetuoso a cada uno de los estudiantes, acercándose de forma amable con el fin de hacer más placentera la clase de matemáticas, e instruir valores como respeto, honestidad, tolerancia y responsabilidad.

ACTIVIDAD

A continuación se muestra una tabla de los gastos de agua de diferentes labores diarias y seguidamente una tabla de los diferentes gastos de agua de las familias en general en la ciudad de Bogotá

Gasto de agua

Actividad	Bañarse	Usar la cisterna del del baño	Lavarse las manos	Consumir agua
Consumo de agua	30 litros	10 litros	1,5 litros	0,5 litros

Actividad	Bañarse	Usar la cisterna del baño	Lavarse las manos	Beber agua
Yo	3 vez	7 veces	5 veces	4 litros
Carmen (mamá)	4 veces	4 veces	7 veces	4 litros
Raúl (papá)	3 vez	4 veces	6 veces	7  litros
Josefina (abuelita)	5 vez	8 veces	9 veces	3 litros
Alejandra (1 año)	3 veces			2 litros
Angélica	2 veces	4 veces	5 veces	5 litros
Andrés	4 vez	6 veces	10 veces	4 litros
Esteban	3 veces	5 veces	5 veces	2 litros
Mayra	2 veces	8 veces	4 veces	3 litros
José Luis	3 vez	2 veces	6 veces	2 litros
Milena	2 vez	4 veces	6 veces	4 litros
Carolina	4 vez	3 veces	6 veces	4 litros
Sol	6 veces	6 veces	4 veces	2 litros
Ismael	3 veces	5 veces	5 veces	3 litros
Fideligna	4 vez	4 veces	3 veces	2 litros

Gasto de agua de los integrantes de la familia Latorre en un fin de semana (puente)

Gasto de agua de los integrantes de la familia Verano en un fin de semana (puente)

Actividad	Bañarse	Usar la cisterna del baño	Lavarse las manos	Beber agua
Antonia	4  veces	3 veces	6 veces	5 litros
Patricia  (mamá)	3 veces	5 veces	4 veces	3 litros
Andrés (papá)	6 veces	4 veces	10 veces	6  litros
catalina (tia)	4 veces	5 veces	8 veces	5 litros
Nicol	3 veces	2 veces	2 veces	4 litros
David	3 veces	4 veces	5 veces	6 litros
Jefferson	4 veces	7 veces	6 veces	4 litros
Luisa	5 veces	5 veces	5 veces	3 litros
Ingrith	2 veces	6 veces	4 veces	3 litros
Jean Carlo	3 veces	7 veces	6 veces	3 litros
Martha	3 veces	4 veces	7 veces	3 litros
Carolina	3 veces	3 veces	5 veces	4 litros
Juan David	4 veces	8 veces	4 veces	4 litros
Tomas	2 veces	3 veces	6 veces	6 litros
Natalia	3 veces	6 veces	5 veces	3 litros

Según las tablas anteriores ¿Cuál familia crees que es la más ecológica? ¿Por qué?

·         Dados los datos se pretende que como primera medida los estudiantes creen hipótesis para dar solución a la pregunta, además de calcular el agua que consumen las dos familia en el fin de semana.(Acción)

Luego de realizar el cálculo se le pedirá a los estudiantes que demuestren con argumentos estadísticos sus hipótesis planteadas, para ello se pretende que los estudiantes:

·         Elaboren una representación grafica en cual se evidencie el consumo total por cada una de las actividades(formulación)

A partir de los gráficos obtenidos, los estudiantes hallaran las medias de tendencia central pertinentes (media), refutando o no la hipótesis planteada. (Validación)

Por último, dado que la media aritmética es igual en las dos familias, los estudiantes tendrán que recurrir a  la varianza como medida de mayor confiabilidad para poder dar respuesta a la fundamental para ello se pretende que:

·         Elaborar una representación grafica donde se pueda identificar y comparar el consumo de agua de cada integrante, respecto al promedio de consumo de agua  de toda la familia. (validación).

·         De acuerdo a lo anterior los estudiantes tendrán que hallar la varianza determinando la variación que existe en cada familia, y así poder establecer cual familia es más ecológica. (Institucionalización).

BIBLIOGRAFÍA

Ø  Batanero. (2000). Significado y Comprensión de las medidas de tendencia central. Departamento de Matemáticas. Universidad de Granada.

Ø  Batanero, C. y Godino, J. (2011). Perspectivas de la educación estadística como área de la investigación. En R. Luengo (Ed), Líneas de investigación en didáctica de las matemáticas. Badajoz: universidad de Extremadura.

Ø  MEN, (2006). Estándares Curriculares de Matemáticas. Colombia.

Ø  Moore, D. S. (1991). Teaching Statistics as a respectable subject. En F. Gordon y S. Gordon (eds.),

Ø  Walpole & Myers (2005) Probabilidad y estadística. Editorial McGraw-Hill.